Tessel­la­tio­nen unter­tei­len einen Raum ähnlich wie die Mosaik­steine ein Bild unter­tei­len. Die Unter­su­chung der einzel­nen Steine und der von ihnen gebil­de­ten Muster bietet eine Möglich­keit, sowohl reale Phäno­mene wie Mikro­struk­tu­ren als auch mathe­ma­ti­sche Objekte wie metri­sche Räume zu analy­sie­ren. In diesem Projekt unter­su­chen wir zufäl­lige Tessel­la­tio­nen im hyper­bo­li­schen Raum, um einen überra­schen­den Zusam­men­hang zwischen Wahrschein­lich­keit, Geome­trie und Algebra besser zu verstehen.

Das Ziel dieses Projekts ist es, durch zufäl­lige Tessel­la­tio­nen einen Zusam­men­hang zwischen verschie­de­nen Berei­chen der Mathe­ma­tik zu unter­su­chen. Jüngste Arbei­ten haben Erkennt­nisse über bestimmte diskrete Unter­grup­pen von Lie-Gruppen im Zusam­men­hang mit dem hyper­bo­li­schen Raum gelie­fert, indem sie Ideen aus der Wahrschein­lich­keits­rech­nung und der Geome­trie zusam­men­ge­führt haben. Die ideale Poisson-Voronoi-Tessel­la­tion (IPVT) wurde verwen­det, um wichtige Ergeb­nisse zu bewei­sen, was Anreize für die Konstruk­tion von Varia­tio­nen davon geschaf­fen hat.

Die Kacheln einer Voronoi-Tessel­la­tion werden wie folgt konstru­iert. Man nehme einen metri­schen Raum und lege eine Menge von Punkten darin fest. Jeder Punkt definiert eine Kachel, die aus allen Punkten des Raums besteht, die näher an ihm liegen als an jedem anderen festge­leg­ten Punkt. Um eine zufäl­lige Tessel­la­tion zu erhal­ten, wählen wir die festge­leg­ten Punkte auf der Grund­lage eines Zufalls­pro­zes­ses aus. Die IPVT verwen­det diese Art der Konstruk­tion mit Punkten, die gemäß einem Poisson-Punkt­pro­zess auf einer geeig­ne­ten Grenze des metri­schen Raums ausge­wählt werden. Eine natür­li­che Erwei­te­rung dieser Arbeit besteht daher darin, andere Punkt­pro­zesse zu betrach­ten. Wir arbei­ten derzeit mit deter­mi­nan­ten Punkt­pro­zes­sen, die eng mit dem Poisson-Punkt­pro­zess verwandt sind, aber zu gleich­mä­ßi­ge­ren Kacheln führen.

Umgekehrt können wir mit der algebra­ischen Seite begin­nen. Mathe­ma­ti­sche Gruppen beschrei­ben die Symme­trien eines Raums, daher ist es oft sinnvoll, sie in Verbin­dung mit diesem Raum zu unter­su­chen. Die IPVT entspricht einer bestimm­ten Art von Gruppe (Gitter), die auf den hyper­bo­li­schen Raum wirkt. Wir konstru­ie­ren auch Punkt­pro­zesse, die kleine­ren diskre­ten Unter­grup­pen von Inter­esse entspre­chen, wie z. B. Schottky-Gruppen.